什么是群 数学

群（Group）是数学中一个重要的概念，它是一个集合，其中包括两个操作：“加法”和“乘法”，并且满足以下四个条件：

1、 封闭性：对集合中的任意两个元素 a 和 b，它们的加法和乘法的组合 (a + b) 和 (a * b) 也都在集合中。

2、 结合律：对集合中的任意三个元素 a、b 和 c，(a + (b + c))、((a + b) + c) 和 (a * (b * c)) 都相等。

3、 单位元：集合中有一个元素 e，对集合中的任意元素 a，都有 e + a = a + e = a 和 e * a = a * e = a。

4、 逆元：对集合中的每一个元素 a，都有一个元素 -a，使得 a + (-a) = e 和 a * (-a) = e * a = a。

群在数学的许多领域都有利用，如代数、数论、拓扑学等。例如，在数论中，素数分解可以看做是在模数运算下的群行动；在代数学中，群表示理论研究群的表示及其性质；在拓扑学中，群论被用来研究拓扑空间的同伦论等问题。

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数学群论的概念是什么？

数学群论是研究抽象代数结构的一个分支，它主要关注于群（Group）这一基本概念及其性质。群是一种具有特定运算的集合，这个运算满足四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。群的概念在数学中有着广泛的应用，例如在几何学、代数学、数论等领域都有群的身影。

群论的起源可以追溯到19世纪，当时数学家们开始研究对称性和变换群。在这个过程中，他们发现了一些具有共同性质的数学结构，这些结构可以用群来表示。随着时间的推移，群论得到了越来越多的关注和发展，成为了现代数学的一个重要组成部分。

群论的基本概念包括群的定义、子群、同态、同构等。群的定义如前所述，子群是指一个群的子集，它本身也是一个群。同态是指两个群之间的映射，它保持群的运算。同构是指两个群之间存在一个双射，且这个映射是同态。同构的群被称为同构类，它们在结构和性质上是相似的。

群论的研究方法主要包括分类和构造。分类是指根据群的性质和结构将群分为不同的类别，例如有限群、无限循环群、交换群等。构造是指在已知群的基础上，通过某种方式得到新的群。这种方法在解决一些数学问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到与已知问题相关的新信息。

总之，数学群论是一门研究抽象代数结构的学科，它关注于群及其性质。群论在数学中有着广泛的应用，为理解许多复杂的数学现象提供了有力的工具。随着数学的发展，群论将继续发挥其重要作用，推动数学领域的进步。

群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。

域：定义域，值域，数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。

集合：简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

范围：

群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。

群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数 环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。

另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。

群、环、域代数结构：

群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式。首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集。

如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算；而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算；向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。

事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述。

做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系(统).换言之，代数结构(代数系)就是带有若干合成(运算)的集合。

参考资料来源：百度百科-群

参考资料来源：百度百科-域

参考资料来源：百度百科-集

参考资料来源：百度百科-环

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