什么是矩阵正交化

矩阵正交化是指将一个矩阵转换为正交矩阵的进程，在这个过程当中，矩阵的行向量是正交的（即相互垂直）。这有助于更好地理解矩阵的性质和特点值问题。

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什么是矩阵的正交化？

正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。

将基a1=(1,1,1) a2=(0,1,1) a3=(0,0,1)化成标准正交基。

ab如果垂直，则a点乘b等于0，因此可以这样正交化

a1不变，a2' = a2-a1(a1 .a2)/|a1|^2，这样a2' .a1 = a2 .a1 - (a2.a1)a1.a1

a3 = a3 - a1(a1 .a3)/|a1|^2 - a2'(a2' .a3)/|a2|^2

代入运算即可。

性质：

对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=E（E是单位矩阵），则A为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

矩阵正交的定义如下：

正交矩阵是指各行所形成的多个向量间任意拿出两个，都能正交关系式，这是指一个矩阵内部向量间的关系。

1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。

2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，满足U*U’=U’*U=I。

对称变换e在规范正交基下的矩阵是对称矩阵，满足A’=A。

3、转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵。

正交矩阵的性质：

1、方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组。

2、 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基。

3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量。

4、 A的列向量组也是正交单位向量组。

实对称矩阵的性质：

1.实对称矩阵特征值为实数。

2..实对称矩阵一定有N个线性无关的特征向量。

3..实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。

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