线性代数 矩阵A~B什么意思

对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似。

从定义出发，最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：

P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C。

进一步地，如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值。

再进一步，如果A、B均为实对称矩阵，则它们必可相似对角化，可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）。

扩展资料：

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：?

（1）判断特征值是否相等；

（2）判断行列式是否相等；

（3）判断迹是否相等；

（4）判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。

（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

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