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皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。?　皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：①1是自然数；②每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数a' ，a'?也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；?　④1不是任何自然数的后继数；⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'?也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。更正式的定义如下：?　一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：X是一个集合，x为X中一个元素，f是X到自身的映射x不在f的值域内.?　f为一个单射.若 并满足:x∈A 且若 a∈A, 则f(a)∈A则A=X.该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:?1.N(自然数集)不是空集2.N到N内存在a→a直接后继元素的一一映射3.后继元素映射像的集合是N的真子集?4.若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N重合.?　能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据.证明：1+1的后继数是1的后继数的后继数，即32的后继数是3根据皮亚诺公理④?　可得：1+1=2与偶与偶数相反相成对立统一、算术公理1+1=2与为什么1+1=2是一个既属于哲学范畴又属于数学范畴的综合矛盾，自然辩证法（哲学）与数学都无法回避的综合矛盾，…，为什么1+1=2：既简单又深刻：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（包含素数）确着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一，在系统中派生子集合，即在发展变化的过程中（仅以正的为例）分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，…或者说小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…纷纷分化出来占据整数的位置，充分地、十足地体现其小数（分数）哲理整性质，为奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17，…能被2哲理整除提供科学的理论依据与支持，2，3，4，5，6，7，8，9，10，?……都是公理，2是数学公理系统首要公理，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理、为量子力学奠定坚实基础，揭示着宇宙中微观世界原子中的质子、中子、核外电子等等基本粒子，即费米子、玻色子的某些运动（自旋）规律，广义整数、广义数学真理为量子力学奠定基础，量子力学又为广义数学真理提供科学的客观证据，希望得到专家的鼎力支持！…。关键词：1、奇数，2、偶数，3、对立性、同一性，4、哲理整分数或哲理整小数，5、哲理整性质，6、对立统一规律，7、派生子集合，8、为什么1+1=2，9、广义整数，10、半整数等等1、偶数与奇数蕴涵着哲学和数学意义的奇数规律：如果从自然辩证法（哲学）、数学角度出发去探索奇数与偶数这一对数学矛盾，偶数能被2整除、奇数不能被2整除的传统数学理论，仅仅涉及到了偶数与奇数的对立、排斥与差异性的一面，没有涉及到偶数与奇数（矛盾）的异中之同、差异中的共性与同一性，很显然是非完整的理性认识、带有片面性，…，如果奇数与偶数是一对带有数学意义的哲学矛盾，则这一矛盾的两个方面不仅拥有差异性与不同性、而且还存在着同一性——异中之同、差异中的共性，如果存在着差异中的共性与同一性，必须探索寻求科学依据，不能凭空而论，自然辩证法（现代哲学）和辩证数值逻辑共同发现：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，（仅以正的为例）分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，15/2，17/2，……拥有相对整性质，因而从数值逻辑系统的发展变化的过程中产生分化出来，占据整数的位置、充分地十足地体现其分数哲理整性质、为什么会拥有（分数）哲理整性质，因为1/2是最大的分数单位，换言之，小数（仅以正的为例）0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……的绝对值比其他小数的绝对值相对整装（不要被它小数性质的现象、假象所迷惑），因而从系统的发展变化的过程中差别、产生分化出来、占据整数的位置，即派生子集合，充当“整数”，充分地、十足地体现其小数哲理整性质，系统存在着完整的公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……的倍数关系或者说系统偶数环节上存在着2，4，6，8，10，12，14，16，……的公理、奇数环节上存在着3，5，7，9，11，13，15，17，……的公理，2是数学系统首要公理，哲理整性质为奇数（含素数）能被2哲理整除提供科学理论依据，为奇数与偶数这一对哲学与数学意义的矛盾提供同一性的科学依据，因此，自然辩证法（现代哲学）为怎样正确回答为什么1+1=2这一数学真理开辟了前进道路、指明了正确前进方向，所以，偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（含素数）确着实能被2哲理整除，二者不仅存在着对立性、排斥性、差异性，尤其存在着共性与同一性，即异中之同、差异中的共性，不容忽视，换言之，奇数与偶数存在着同一性、存在着相反相成对立统一的辩证关系，奇数与偶数不仅是一对拥有哲学内涵的矛盾，更是拥有数学意义的矛盾，那么当然需要辩证分析、辩证推理，当然需要自然辩证法的指导，更需要数学专家与哲学专家的鼎力支持，要突破传统的数学思维观念、突破传统经典数论与集合论的束缚，…。2、哲理整分数、哲理整小数、哲理整性质：将分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，11/2，-11/2，……以及其绝对值所拥有的哲理整性质统称为哲理整分数，换言之，将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，……，…以及它们的哲理整性质统称为哲理整小数，哲理整小数（哲理整分数）拥有相互矛盾的双重性质，其一是分数或小数性质，其二是哲理整性质…。何谓哲理整性质？即其他小数（其他分数）的绝对值比哲理整小数（哲理整分数）的绝对值更零散，换言之，哲理整小数（哲理整分数）的绝对值比其他小数（其他分数）的绝对值相对整装，这一相比较而言而得到的相对整性质与整数的整装性质构成异中之同、差异中的共性，将这一差异中的共性与同一性统称为小数哲理整性质（分数哲理整性质），尽管二者是相对而言，然而亦是一个客观存在，小数哲理整性质它为奇数能被2哲理整除提供了客观上的科学依据，这是自然辩证法的重大发现和自然辩证法的重大胜利！这是世界观的认识问题，很显然，哲理整小数（哲理整分数）具有相互矛盾的双重性质：其一是哲理整性质、其二是普通小数（普通分数）的性质，惟独哲理整小数（哲理整分数）拥有哲理整性质，其他普通小数（其他普通分数）并不具备哲理整性质，因为1/2是最大的分数单位，0.5是最大的小数单位、其内涵与外延仅仅使用于哲理整分数和哲理整小数，否则就是对本文哲理整性质的误读、误解，特此说明，…。3、哲理整小数的哲学与数学意义：哲理整小数的哲学与数学意义：哲理整小数为奇数与偶数提供同一性，为奇数能被2?哲理整除、为数学真理为什么1+1=2提供科学依据，奇数与偶数是一对既属于哲学范畴又属于数学范畴的综合矛盾，整数与哲理整小数为偶数能被2整除、为奇数能被2哲理整除提供完整科学依据，单纯的数学角度去认识似乎无法正确理解与接受，成语相反相成，老子先生早在两千多年前就提出来了，相反的事物拥有同一性，奇数与偶数这对数学（哲学）矛盾也不例外，哲理整小数的哲学与数学意义主要是为奇数能被2哲理整除、为奇数与偶数存在者共性同一性提供科学依据，哲学（自然辩证法）为完整数学真理指明了正确前进方向！4、哲理整（分数）小数拥有哲理整性质的科学依据和其来源：很显然，哲理整（分数）小数具有相互矛盾的双重性质：其一是哲理整性质、其二是普通（分数）小数的性质，分数拥有分数单位、1/2是最大的分数单位，小数拥有小数单位、0.5是最大的小数单位，最大的小数单位“0.5”以及辩证数值逻辑中派生子集合为哲理整小数（哲理整分数）具有哲理整性质提供科学依据，因而，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如果将其极端绝对化了排斥掉了奇数与偶数二者的同一性，即如果排斥掉了奇数能被2哲理整除的性质，就要阻碍完整数学真理向前发展与突破，导致不可思议——千百年来数学基础数值逻辑自身的发展史充分地证明了这一点，偶数能被2整除，奇数不能被2整除的传统理论没有回答数学真理为什么1+1=2，未建立起数值逻辑公理系统，这是因为奇数不能被2整除，理论上无法直接承认、接受2是数学公理；这也是（数学）算术的一大遗憾，因为传统经典数论与集合论的系统只存在奇数环节、没有偶数环节，换言之只有奇数公理、没有偶数倍数的公理2，4，6，8，10，12，14，16…以及与其相对应着同一体系统，尽管高深的数理逻辑、高等数学具有无穷无尽的力量与作用，由于它们不能完全彻底取代数值逻辑的巨大意义与作用及其预算规律，因此偶数能被2整除，奇数不能被2整除的传统理论只把完整的数学真理认识了一半、仅仅涉及到了矛盾的对立性、差异性、它是在毕达哥拉斯时期形成的，另一半，即矛盾的同一性、异中之同差异中的共性——奇数能被2哲理整除亦很必要与重要；很显然，数论与集合论已经突破了传统经典的数论与集合论，形成了广义整数、广义数论与广义集合论、真理形成广义数学真理，广义整数为量子力学奠定坚实基础，…。5、奇数与偶数蕴含着哲学的对立统一规律以及数学真理为什么1+1=2：本文将奇数与偶数这一对具有哲学内涵下的数学矛盾简单的归纳为：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（含素数）确着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性、排斥性、差异性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，偶数能被2整除、奇数能被2哲理整除就是异中之同，差异中的共性与同一性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指偶数与奇数的对立、排斥、差异性，因此说，奇数与偶数（整数与哲理整小数）二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，自然辩证法、数学二位一体，辩证统一，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，为什么1+1=2，我们的回答既简单又深刻：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（含素数）确着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一、存在着对立性与同一性，为哲学的对立统一规律提供理论依据，2是数学首要公理，…，是啊！为什么1+1=2它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似就是小学生的基本知识，但它深刻、深奥地不可思议甚至不可理喻、难以理解与接受，世上有那么多的为什么，为什么迄今为止还没有数学真理为什么1+1=2出笼？是它客观上根本不存在还是我们地球人类没有对它形成理性认识？本文对此进行了探索性地回答，不妥之处敬请谅解，…。6、辩证数值逻辑公理系统（笼统地、通项地表达为以下形式，不再展开来谈，符号：↓意指派生子集合）：{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5?↓……（此结构式上下交错对应莫散开）{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，………。7、广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础：将整数与哲理整分数统称为广义整数，也就是把0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，4，-4，9/2，-9/2，5，-5，11/2，-11/2，6，-6，13/2，-13/2，7，-7，15/2，-15/2，……统称为广义整数；换言之，将整数与哲理整小数统称为广义整数，亦即将0，0.5?，-0.5，1，-1，1.5，-1.5，2，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6，-6，6.5，-6.5，……统称为广义整数，很显然，广义整数形成了广义数论与广义集合论，真理形成了广义数学真理，广义整数（离散量）亦为量子力学奠定坚实的基础，广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础、揭示着大宇宙中微观世界的原子、中子、质子、核外电子，费米子、玻色子等等粒子的某些运动（自旋）规律，...；示着宇宙中微观世界的原子、中子、质子、核外电子等等粒子、费米子、玻色子的自旋规律，整数与分数形式的半整数（小数形式的半整数）的数值逻辑对立统一规律揭示着，无论是宏观世界还是微观世界都蕴含着对立统一规律，对立统一规律是宇宙的普遍规律，费米子与玻色子的自旋运动规律亦蕴涵着对立统一规律，譬如费米子的自旋规律分别遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…、玻色子的自旋规律分别遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…，因此广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础，量子力学的半整数又为广义整数、广义数学真理提供客观上的科学证据与客观支持，…，潜无限、广义整数、广义数学真理的确派上了用场广义整数揭示着宇宙中微观世界的质子、中子、核外电子等等基本粒子，即费米子、玻色子的自旋规律，整数与哲理整分数（哲理整小数）的数值逻辑对立统一规律揭示着，无论是宇宙中的宏观世界还是微观世界都蕴含着对立统一规律，对立统一规律是宇宙的普遍规律，譬如费米子与玻色子的自旋运动规律亦蕴涵着对立统一规律，…,在量子力学中、譬如形如（n+1/2）或者（Z+1/2）的叫作半整数，量子力学为广义整数、广义数学真理提供客观的科学证据，广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础，很显然，在量子力学中对半整数亦尚未形成完整理性认识，其实所谓的“半整数”就是所谓的“哲理整分数或哲理整小数”，属于广义整数以及广义数学真理的范畴，至此，广义整数、广义数学真理已经拥有了客观的科学证据，本文数学真理从此并非所谓的空谈的数学理论，是数学真理就会拥有多方位的应用价值，为什么1+1=2也不例外，为什么1+1=2不仅是数学真理而且是数学的主要矛盾，解决好数学的主要矛盾是数学的首要任务与使命，在数学之初就应当解决好这一数学主要矛盾，令人遗憾的是那时还没有自然辩证法与辩证唯物主义哲学，那时的人们采用的哲学不行，使数学矛盾与问题滞留至今，为什么1+1=2属于算术问题与算术范畴，在专家面前属于“小儿科”，尽管属于“小儿科”，俗话说得好，最简单的、最质朴的、最基本的恰恰是最深奥的，数学（算术）是被应验了，1+1=2，一个最简单数值逻辑蕴涵着最深刻的数学真理，对立统一规律，2是数学首要公理，分数的哲理整性质（小数的哲理整性质）是算术（数学）的“弯弯绕”，是最为难以理解接受的数学知识与真理，数理逻辑、形式逻辑不可能推理、证明出分数1/2（小数0.5）所拥有的哲理整性质，只有使用辩证数值逻辑对其辨证认识、辩证分析、辨证推理，方能得到，……。

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